Задача про Диму, Юлю и Виктора

Изменено: . Разместил: FadeDemon | Меню
Количество просмотров1`919 / FD881-6-0

Однажды, меня попросили решить задачку. 5 или 6 класс. Ну, я взял, и решил… И не надо так на меня смотреть. Решил же.


Дано:

Дима, Юля и Виктор пошли в магазин где потратили:

Дима и Юля 30 руб;
Юля и Виктор 17 руб;
Дима и Виктор 25 руб;

Спрашивается - сколько потратил каждый из детей?

Решаем:

Обозначим Дима, Юля, Виктор => x, y, z

Получаем систему линейных уравнений:

 \[ \left \lbrace \begin{aligned} & x + y = 30 \\ & y + z = 17 \\ & x + z = 25 \end{aligned} \right . \]


Составим расширенную матрицу системы:

 \[ \left ( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \! \vline \! & 30 \\ 0 & 1 & 1 & \! \vline \! & 17 \\ 1 & 0 & 1 & \! \vline \! & 25 \end{matrix} \right ) \]


И решим систему методом Гаусса (или элементарных преобразований).
От третьей вычтем первую строку:

 \[ \left ( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \! \vline \! & 30 \\ 0 & 1 & 1 & \! \vline \! & 17 \\ 0 & -1 & 1 & \! \vline \! & -5 \end{matrix} \right ) \]


К третьей прибавим вторую:

 \[ \left ( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \! \vline \! & 30 \\ 0 & 1 & 1 & \! \vline \! & 17 \\ 0 & 0 & 2 & \! \vline \! & 12 \end{matrix} \right ) \]


И третью строку поделим на 2:

 \[ \left ( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & \! \vline \! & 30 \\ 0 & 1 & 1 & \! \vline \! & 17 \\ 0 & 0 & 1 & \! \vline \! & 6 \end{matrix} \right ) \]


Мы получили верхнюю треугольную мтрицу (прямой ход), теперь действуем обычной подстановкой (обратный ход).
Перходим обратно к системе, и решаем ее:


 \[ \left \lbrace \begin{aligned} x + y = &~30 \\ y + z = &~17 \\ z = &~6 \end{aligned} \right . \Rightarrow \left \lbrace \begin{aligned} & x = 30 - 11 \\ & y = 17 - 6 \\ & z = 6 \end{aligned} \right . \Rightarrow \left \lbrace \begin{aligned} & x = 19 \\ & y = 11 \\ & z = 6 \end{aligned} \right . \]
Решаем систему

Ответ:
x = 19 (Дима потратил 19 рублей)
y = 11 (Юля потратила 11 рублей)
z = 6 (Виктор потратил 6 рублей)

Проверку оставляю домашним заданием :)

Ключевые слова математика, Дима, Юля, Виктор, система уравнений, задача, матрица, метод Гаусса
QR-код
Интересное
Однажды, меня попросили решить задачку. 5 или 6 класс. Ну, я взял, и решил… И не надо так на меня смотреть. Решил же.

Читать »»
Случайные фото